证明：6 阶群 G 有且只有一个 3 阶子群
存在性：
若 G 为 6 阶循环群，设 G=<a>，则<a^2>是一个 3 阶子群。
否则，假设 G 没有 3 阶子群。则 G 的元素的阶数只能为 1,2. 对于阶数为 1 或 2 的元素有
. 则
，故取 G 中两个不同元素
，可构造群
，阶为 4，与 Lagrange 定理矛盾。
综上，G 一定存在 3 阶子群。
唯一性：
若 G 有 2 个 3 阶子群<a><b>，则 G 至少有 4 个 3 阶元：a, a^2, b, b^2. 那么有 e, a, a^2, b, b^2, ab, a^2b^2 这 7 个元素两两不同，与 G 的阶为 6 矛盾。
综上，6 阶群 G 有且仅有一个 3 阶子群。