线性空间
求两个线性空间的交
借助Row Echelon Form！
先把两组基按列排在一起，然后REF的每一个非主元列给出的就是它的构成！类似于，把右下角再进行一次消元的感觉。
Idea from this.
证明线性空间相等
- 相互包含
- 包含且维数相等
- 包含基
线性变换/矩阵
求广义Jordan型的基
核心思想（来自sympy的代码实现）：对于每个特征值，从中选择一个向量，然后生成这个Jordan块对应的基，然后从上述空间中继续选择向量，且和之前选的向量线性无关，直到空。
证明可逆的思路
- 行列式
- Kernel
- RREF
- 相似
证明不可逆的思路
- 在某个子空间不可逆
证明矩阵相似的思路
- 不变因子组相同
正规矩阵的性质
![image-20210519224048226]()
- 正规矩阵A的（共轭）转置是A的多项式（https://math.stackexchange.com/questions/1753539/show-for-a-normal-a-pa-for-some-polynomial-p ）
- 正规矩阵的乘积不一定正规。
- A和
共用特征向量，特征值共轭。
是A的多项式（https://math.stackexchange.com/questions/857291/t-is-normal-if-and-only-if-for-every-t-invariant-subspace-its-orthogona#comment1768647_857291 ）
- 矩阵
和A^T的属于不同特征值的特征向量正交。
正交相关
不等式相关
- Cauchy
- Frobenius：
![image-20210620144616546]()
二次型相关
矩阵的正负惯性指数和子空间的关系：
可同时对角化
AB=BA
- A, B实对称。若A还正定，则A可对角化为
作业
wk3 6(2)
整个第6题都值得看看。
wk7 5
利用复数的共轭，和.
扩展：无实平方根。链接
幂零阵的平方根：链接
wk12 4.
wk13 2.
这个想法很妙，直接考虑把B干掉：
其他
wk8hw 6. 10. 11.
wk10hw 10. 17.
wk11hw 9.
wk12hw 6.
wk15hw 4.
技巧&注意事项
见到复数，想到共轭。
线性空间的维数定理。证明两个空间有交。
伴随矩阵是[代数余子式]的转置！
计算01矩阵的平方根？将矩阵视为某个邻接矩阵的平方，则数字就代表路径条数！
如何使用多项式互素的条件？Bezout定理！
若A,B可交换，则共有一个特征向量。
注意平方和正负的关系。
考虑边界情况，如n=1.
高维内积空间的勾股定理是可用的。
遇到同时出现两个矩阵的情况，先把一个矩阵变成简单的，然后再搞。
取Trace。
谱分解，奇异值分解。
