多元微分
区域：联通开集
凸区域上的凸函数一定是D上的连续函数。
对梯度的理解
梯度是向量场的对偶向量（V的对偶空间：V上的线性映射的集合）。
向量可以被定义为：可以给函数求方向导数。
1-形式就是梯度。
对多元微积分中![]()
的理解
核心在如何理解余切空间。
函数芽：点任意小的邻域内相等的函数构成的等价类。
余切空间：对函数芽求方向导数。
因此，.
定理们
隐映射定理/隐函数定理：映射
行满秩，则存在
函数
，且
。其中隐函数定理是局限在2维的版本。
逆映射定理/反函数定理：映射
，则存在
且
秩定理：
曲线和曲面
光滑曲线：连续可导，且正则（各向导数不同时为0）
零面积集：有限个矩形
B有面积当且仅当B的边界是零面积集。
曲率和挠率
记住：
第一型曲线积分
第二型曲面积分
场
div (divergence) 散度，即通量，
rot (rotation) 旋度，即环量，
有势场 == 保守场 == 无旋场
旋度场 == 无源场
，则G称为F的向量势，且对于任意连续可微函数
，有
也是F的向量势。
公式们
Green
把封闭曲线积分转为封闭区域的积分。
对于的单/多连通区域和连续函数来说，积分与路径无关 == 恰当微分。
对于的单连通区域和连续函数来说，积分与路径无关 == 恰当微分 ==
。
Gauss
把封闭的曲面积分转为三重积分。
Stokes
把曲面的边界积分转为曲面积分。
其中是
的单位切向量。
高维Stokes：
微积分
几个积分的式子：
极坐标换元的Jacobi行列式：
二维：
三维：，其中
三角函数
反三角函数
双曲三角函数
https://zhuanlan.zhihu.com/p/20042215
线性代数
正交矩阵
注意到 ，也就是说矩阵的行（或列）向量之间点积等于0（向量正交），行（或列）向量与自身的点积等于1（单位向量），所以正交矩阵又有另一种定义：由行之间两两正交、列之间两两正交的单位向量组成的方阵。
技巧&注意事项
证明闭集：
- 补集是开集
- 对取极限封闭
连续映射：开集的原象是开集
子空间拓扑
注意球坐标换元后变量的范围：。高维情况类似，只有最后一个角（也就是出现全
的）的范围是
证明某个区间都满足某个性质的方法：设
利用连通性、开集来证明
多元微积分泰勒公式
拟微分平均值定理
化为一元
很多时候直观是错的，或者说直观只在一维成立。但是可以用直观进行验证，例如简单的等式。
用对称性简化运算！
配方
聚点定理+开覆盖证明和闭集有关的定理。
似乎周坚的考试题有一部分出自《组合优化》
让我预言一下明天考什么：
格林公式，等周问题，麦克斯韦方程组，角形式
周坚习题课上埋的伏笔：
高斯积分，傅里叶分析，椭圆积分
