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Advanced Linear Algebra(2)

线性空间

求两个线性空间的交

借助Row Echelon Form!

先把两组基按列排在一起,然后REF的每一个非主元列给出的就是它的构成!类似于,把右下角再进行一次消元的感觉。

Idea from this.

证明线性空间相等

  • 相互包含
  • 包含且维数相等
  • 包含基

线性变换/矩阵

求广义Jordan型的基

核心思想(来自sympy的代码实现):对于每个特征值,从中选择一个向量,然后生成这个Jordan块对应的基,然后从上述空间中继续选择向量,且和之前选的向量线性无关,直到空。

证明可逆的思路

  • 行列式
  • Kernel
  • RREF
  • 相似

证明不可逆的思路

  • 在某个子空间不可逆

证明矩阵相似的思路

  • 不变因子组相同

正规矩阵的性质

正交相关

image-20210620110248293

image-20210620110237494

不等式相关

  • Cauchy
  • Frobenius:
  • image-20210620144616546

二次型相关

矩阵的正负惯性指数和子空间的关系:

image-20210619102353919

image-20210621161244217

image-20210621161258964

image-20210621161359849

image-20210621163056738

可同时对角化

AB=BA

  • A, B实对称。若A还正定,则A可对角化为

作业

wk3 6(2)

image-20210331092101530

整个第6题都值得看看。

wk7 5

利用复数的共轭,和.

扩展:无实平方根。链接

image-20210414091655863

幂零阵的平方根:链接

wk12 4.

image-20210620201122974

image-20210623104313116

wk13 2.

这个想法很妙,直接考虑把B干掉:

image-20210620212921275

其他

image-20210623231107723

wk8hw 6. 10. 11.

wk10hw 10. 17.

wk11hw 9.

wk12hw 6.

wk15hw 4.

技巧&注意事项

见到复数,想到共轭。

线性空间的维数定理。证明两个空间有交。

伴随矩阵是[代数余子式]的转置

计算01矩阵的平方根?将矩阵视为某个邻接矩阵的平方,则数字就代表路径条数!

如何使用多项式互素的条件?Bezout定理!

若A,B可交换,则共有一个特征向量。

注意平方和正负的关系。

考虑边界情况,如n=1.

高维内积空间的勾股定理是可用的。

遇到同时出现两个矩阵的情况,先把一个矩阵变成简单的,然后再搞。

取Trace。

谱分解,奇异值分解。

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尝试