应该在电脑上写的，但是已经在纸上写完了…鸽了鸽了。
但是这周题挺好的，把最后一题抄上来吧。
12.
设G是每个面都是三角形的平面图，用3种颜色对它的所有结点任意着色。证明：顶点上恰好得到了这3种颜色的面的数目是偶数个。
前排提示：这道题最简单的做法是将相邻同色点缩点。
记C为顶点上恰好得到了这3种颜色的面的数目。不妨设3种颜色为RGB。只需要证，任意调整某一个点的颜色，C的奇偶性不变。若得证，则可将所有点的颜色调整至相同，此时C=0，为偶数，故任意着色后C为偶数，证毕。
对于某个点A考虑，不妨设它原来的颜色是R，我们将其调整为B。考虑A的邻居。
1
A的邻居缺少颜色B或G，则无论A是什么颜色，都对C没有贡献。
2
A的邻居的颜色都不是R，只有BG。从某个邻居开始按顺序写下它们的颜色（要求这个邻居与前一个或后一个邻居的颜色不同），并将极长的相同颜色段缩为一个（因为两个相同颜色的点与A构成的面的颜色数目<3，对答案没有贡献），得到的序列形如BG…BG或GB…GB。颜色不同且序列上相邻的两点与A构成的面，在A改变颜色后会使C-1，由于序列长为偶数，故C的奇偶性不改变。
3
A的邻居中含有3种颜色，将极长的相同颜色段缩为一个，以R为分界点断开，得到的每一段内只有BG交替出现。考虑每一段。
3.1
若段长为奇数，即形如BG…GB或GB…BG，则改变颜色后，会减少偶数个符合条件的面，同时增加0或2个符合条件的面，C的奇偶性不变。
3.2
若段长为偶数，即形如BG…BG或GB…GB，则改变颜色后，会减少奇数个符合条件的面，同时增加1个符合条件的面，C的奇偶性不变。
综上，改变一个点的颜色，C的奇偶性不变。由开始时的论证知，原命题成立。