写在前面:本文是作为概率论与数理统计的课程论文。
从众所周知的定理说开去…
想必大家在学习概率论的时候,都听过这样一个故事:一只猴子在打字机上随机敲击键盘,无限期地敲下去,最终会打出一部莎士比亚的作品。这个故事的出处[1]有许多说法,最初提出这个故事的人也不一定是英国人(那么提到的作品也大概不是莎士比亚的),这里不做细究。但是这个故事的意义却是显而易见的:在无限的时间里,一切都有可能发生。
这种一定发生的事情是多么的无聊。按照清华的传统,我们不妨把它变成一个比赛,排出一二三来。对猴子(学生)排序这件事,听起来有些恐怖。我们还是比一比哪部作品更容易被猴子写出来吧。我虽然读过莎翁的几篇著作,但是它们在我的榆木脑袋里并没有留下太多印象,而且不同作品的字数也不一样,显然不太公平。我们不妨比较一些字数相近的作品,中国古代的五言绝句就是一个很好的选择。我拍脑袋想到了《静夜思》和《八阵图》这两首诗,于是,我们的问题就是:一只猴子随机敲击键盘,更容易写出《静夜思》还是《八阵图》?
这个讨论真的有意义吗?
看到这里,很自然的一个想法是,两首诗长度相同,那么出现的概率自然也相同了。其实,问题没有这么简单。为了看清楚这一点,我们需要简化问题。键盘上的按键太多了,我们干脆让猴子抛硬币吧,这样我们得到的就是无限长的01序列(0代表正,1代表反),每个位置的结果独立,且0和1出现的概率相等。《静夜思》和《八阵图》这两首诗,我们暂且用011(正反反)和110(反反正)来表示,以便于猴子写出来。那么,这两个序列,哪一个先出现的概率高?
事实上,011首先出现的概率高达75%!虽然011和110的长度相同,出现的频率也是相同的,但是它们之间存在竞争(太可怕了)!011的第一个0出现的时候,110已经输了,因为它的第一个1还没有出现。在110的前缀11出现时,011就会取得胜利。因此,二者的胜率是3:1。
你说的对,所以怎么计算?